Polynomfunktionen:
vermischte Aufgaben |
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Aufgaben über Tangenten und Winkel:
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7
Gleichung und Extremum:
8
Maturaufgaben:
9,
10,
11,
12,
13,
14,
15,
16,
17
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Aufgabe 1 |
Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Punkt P(1/?)
an den Graphen von f.
| a) |
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| b) |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 2 |
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt W
des Graphen von f.
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LÖSUNG |
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Aufgabe 3 |
Gesucht ist die Gleichung der Geraden, welche den Graphen von f
berührt und die Gerade g rechtwinklig schneidet.
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LÖSUNG |
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Aufgabe 4 |
Zeigen Sie, dass f nur eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie dann
den Winkel zwischen dem Graphen von f und der x-Achse.
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LÖSUNG |
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Aufgabe 5 |
Bestimmen Sie die Gleichung von Tangente und Normale im
Kurvenpunkt P(2/v). |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 6 |
Bestimmen Sie die Berührpunkte derjenigen Tangenten an den
Graphen der Funktion f, die durch den Ursprung des
Koordinatensystems gehen. |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 7 |
Unter welchen Winkeln schneiden sich die Graphen von f und g?
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LÖSUNG |
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Aufgabe 8 |
Der Graph einer quadratischen Funktion hat den Scheitelpunkt
(0|4.5) und die Nullstellen bei 3 und -3.
Q und P begrenzen eine zur x-Achse parallele Parabelsehne
oberhalb der x-Achse. QP ist die Basis eines gleichschenkligen
Dreiecks, dessen Spitze im Nullpunkt liegt und dessen
Flächeninhalt maximal werden soll.
Bestimmen Sie
Flächeninhalt und Winkel des Dreiecks. |
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LÖSUNG |
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Aufgabe 9 |
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Die Parabel p und das Trapez ABCD sind gegeben.
A ist der Koordinatenursprung, B die positive Nullstelle der
Parabel; C ist ein beliebiger Parabelpunkt im 1. Quadranten, D
der zugehörige Punkt auf der y-Achse. |
| a) |
Wie gross kann der Winkel CBA unter diesen Umständen
sein? |
| b) |
Bestimmen Sie C so, dass das Trapez ABCD maximalen
Flächeninhalt hat. |
| (Maturaufgabe) | |
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Aufgabe 10 |
| Ein Körper besteht aus einem geraden Kreiszylinder mit
aufgesetzter Halbkugel. Zylinderradius und -höhe und
Radius der Halbkugel haben je die Länge 3.
Diesem Körper wird ein gerader Kreiskegel
einbeschrieben mit der Spitze im Mittelpunkt der
Zylinderstandfläche und dem Grundkreis auf der
Kugeloberfläche. |
| a) |
Bestimmen Sie die Höhe des Kreiskegels mit maximalem
Volumen. |
| b) |
Bestimmen Sie die Höhe des Kreiskegels mit maximaler
Mantelfläche. |
| (Maturaufgabe) | |
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Aufgabe 11 |
| Bestimme die Gleichung einer zum Ursprung symmetrischen Parabel
möglichst niedrigen Grades, welche bei x=2 eine doppelte Nullstelle hat und
im ersten Quadranten mit der Tangente im Ursprung eine Fläche mit dem
Inhalt 2 einschliesst. |
| Kantonsschule Rychenberg Winterthur, Typus C, 1989; Kurzaufgabe |
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Aufgabe 12 |
| Holzfässer sind keine Zylinder. Die Dauben (Seitenbretter) sind eigentlich kreisförmig gebogen. Das abgebildete Bierfass ist 40cm hoch. Die Durchmesser der beiden Standflächen sind je 30cm, der grösste Durchmesser auf der Höhe des Spundlochs misst 40cm Die Daube kann, wenn das Fass liegt, näherungsweise durch eine Polynom 2. Grades beschrieben werden. |
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| a) |
Legen Sie durch einen Längsschnitt des Fasses auf möglichst einfache Art ein Koordinatensystem und berechnen Sie die Gleichung dieses Polynoms. |
| b) |
Berechnen Sie das Volumen des Fasses! (Exakt und in Litern) |
| c) |
Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Fassregel von Kepler:
V=h(Q1+4Q2+Q3)/6.
Dabei sind: Q1 und Q3 die Grund- und Deckfläche, Q3 die grösste Querschnittsfläche.
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[Kantonsschule Frauenfeld Matur 2002 Flü] | |
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Aufgabe 13 |
| Der Graph k einer Funktion y=ax3+bx2+cx+d geht durch den Ursprung O des Koordinatensystems, hat in P(1|4/3) eine waagrechte Tangente und besitzt an der Stelle x=2 einen Wendepunkt. |
| a) |
Bestimmen Sie a, b, c und d. |
| b) |
Zeichnen Sie den Graph k unter Verwendung der aus der Kurvendiskussion sich ergebenden besonderen Werte. |
| c) |
Berechnen Sie den Inhalt der endlichen Flächenstücke, welche durch die Kurve und durch die Gerade mit der Gleichung 3y=x begrenzt sind. |
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[Eidg. Matur Bern, Frühling 76] | |
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Aufgabe 14 |
| Gegeben ist die Funktion |
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| a) |
Zeichnen Sie ein Bild des Graphen von f(x)
(Nullstellen samt Steigung, Extrema) |
| b) |
In welchen Punkten des Graphen von f(x) verlaufen die Tangenten parallel zur Geraden mit der Gleichung 13x-4y+20=0 ? |
| c) |
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, welches die Kurve von f(x) zusammen mit der x-Achse im 1. Quadranten einschliesst. |
| d) |
Eine Gerade durch den Ursprung (0|0) soll nun dieses Flächenstück halbieren.
Bestimmen Sie die Steigung dieser Geraden.
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[TSME, Matur 2000] | |
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Aufgabe 15 |
| Zwei verschiedene Funktionen f1 und f2 haben dieselbe 2. Ableitung |
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| Ihre Graphen gehen beide durch den Ursprung des Koordinatensystems und berühren beide die x-Achse. |
| a) |
Wie lauten die Funktionen f1 und f2? |
| b) |
Stellen Sie die beiden Funktionen im gleichen Koordinatensystem mit Hilfe der Extrem- und Wendepunkte dar (Einheit: 1 Häuschen). |
| c) |
Welchen Inhalt hat das von den beiden Graphen und von der Geraden mit der Gleichung x=8 eingeschlossene Flächenstück ? |
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[Eidg. Matur Basel, Herbst 76] | |
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Aufgabe 16 |
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| a) |
Berechnen Sie die ausgezeichneten Stellen dieser Funktion und zeichnen Sie den Graph F1 (Einheit: 4 Häuschen). |
| b) |
Durch Spiegelung von F1 an der y-Achse erhält man den Graph F2. F2 habe die Funktionsgleichung f2(x) . In welcher Beziehung stehen f1(x) und f2(x)? Geben Sie f1(x) an.
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| c) |
Berechnen Sie das Gebiet, welches F1 und F2 im I. Quadranten einschliessen. |
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[Kanti Frauenfeld 78, Wb] | |
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Aufgabe 17 |
| Welche ganze rationale Funktion erfüllt die drei folgenden Bedingungen? |
| a) |
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| b) |
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| c) |
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[Kanti Frauenfeld 78, Wb] | |
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LÖSUNG |