Polynomfunktionen: vermischte Aufgaben

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Aufgaben über Tangenten und Winkel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Gleichung und Extremum: 8

Maturaufgaben: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17







TOP Aufgabe 1 Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Punkt P(1/?)
an den Graphen von f.
a)
b)
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TOP Aufgabe 2
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt W
des Graphen von f.
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TOP Aufgabe 3
Gesucht ist die Gleichung der Geraden, welche den Graphen von f berührt und die Gerade g rechtwinklig schneidet.
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TOP Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass f nur eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie dann
den Winkel zwischen dem Graphen von f und der x-Achse.
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TOP Aufgabe 5
Bestimmen Sie die Gleichung von Tangente und Normale im
Kurvenpunkt P(2/v).
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TOP Aufgabe 6
Bestimmen Sie die Berührpunkte derjenigen Tangenten an den Graphen der Funktion f, die durch den Ursprung des Koordinatensystems gehen.
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TOP Aufgabe 7
Unter welchen Winkeln schneiden sich die Graphen von f und g?
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TOP Aufgabe 8 Der Graph einer quadratischen Funktion hat den Scheitelpunkt (0|4.5) und die Nullstellen bei 3 und -3.
Q und P begrenzen eine zur x-Achse parallele Parabelsehne oberhalb der x-Achse. QP ist die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Spitze im Nullpunkt liegt und dessen Flächeninhalt maximal werden soll.
Bestimmen Sie Flächeninhalt und Winkel des Dreiecks.
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TOP Aufgabe 9
Die Parabel p und das Trapez ABCD sind gegeben.
A ist der Koordinatenursprung, B die positive Nullstelle der Parabel; C ist ein beliebiger Parabelpunkt im 1. Quadranten, D der zugehörige Punkt auf der y-Achse.
a) Wie gross kann der Winkel CBA unter diesen Umständen sein?
b) Bestimmen Sie C so, dass das Trapez ABCD maximalen Flächeninhalt hat.
(Maturaufgabe)
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TOP Aufgabe 10
Ein Körper besteht aus einem geraden Kreiszylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Zylinderradius und -höhe und Radius der Halbkugel haben je die Länge 3. Diesem Körper wird ein gerader Kreiskegel einbeschrieben mit der Spitze im Mittelpunkt der Zylinderstandfläche und dem Grundkreis auf der Kugeloberfläche.
a) Bestimmen Sie die Höhe des Kreiskegels mit maximalem Volumen.
b) Bestimmen Sie die Höhe des Kreiskegels mit maximaler Mantelfläche.
(Maturaufgabe)
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TOP Aufgabe 11
Bestimme die Gleichung einer zum Ursprung symmetrischen Parabel möglichst niedrigen Grades, welche bei x=2 eine doppelte Nullstelle hat und im ersten Quadranten mit der Tangente im Ursprung eine Fläche mit dem Inhalt 2 einschliesst.
Kantonsschule Rychenberg Winterthur, Typus C, 1989; Kurzaufgabe
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TOP Aufgabe 12
Holzfässer sind keine Zylinder. Die Dauben (Seitenbretter) sind eigentlich kreisförmig gebogen. Das abgebildete Bierfass ist 40cm hoch. Die Durchmesser der beiden Standflächen sind je 30cm, der grösste Durchmesser auf der Höhe des Spundlochs misst 40cm Die Daube kann, wenn das Fass liegt, näherungsweise durch eine Polynom 2. Grades beschrieben werden.
a) Legen Sie durch einen Längsschnitt des Fasses auf möglichst einfache Art ein Koordinatensystem und berechnen Sie die Gleichung dieses Polynoms.
b) Berechnen Sie das Volumen des Fasses! (Exakt und in Litern)
c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Fassregel von Kepler:
V=h(Q1+4Q2+Q3)/6. Dabei sind: Q1 und Q3 die Grund- und Deckfläche, Q3 die grösste Querschnittsfläche.
[Kantonsschule Frauenfeld Matur 2002 Flü]
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TOP Aufgabe 13
Der Graph k einer Funktion y=ax3+bx2+cx+d geht durch den Ursprung O des Koordinatensystems, hat in P(1|4/3) eine waagrechte Tangente und besitzt an der Stelle x=2 einen Wendepunkt.
a) Bestimmen Sie a, b, c und d.
b) Zeichnen Sie den Graph k unter Verwendung der aus der Kurvendiskussion sich ergebenden besonderen Werte.
c) Berechnen Sie den Inhalt der endlichen Flächenstücke, welche durch die Kurve und durch die Gerade mit der Gleichung 3y=x begrenzt sind.
[Eidg. Matur Bern, Frühling 76]
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TOP Aufgabe 14
Gegeben ist die Funktion  
a) Zeichnen Sie ein Bild des Graphen von f(x)
(Nullstellen samt Steigung, Extrema)
b) In welchen Punkten des Graphen von f(x) verlaufen die Tangenten parallel zur Geraden mit der Gleichung 13x-4y+20=0 ?
c) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, welches die Kurve von f(x) zusammen mit der x-Achse im 1. Quadranten einschliesst.
d) Eine Gerade durch den Ursprung (0|0) soll nun dieses Flächenstück halbieren. Bestimmen Sie die Steigung dieser Geraden.
[TSME, Matur 2000]
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TOP Aufgabe 15
Zwei verschiedene Funktionen f1 und f2 haben dieselbe 2. Ableitung
Ihre Graphen gehen beide durch den Ursprung des Koordinatensystems und berühren beide die x-Achse.
a) Wie lauten die Funktionen f1 und f2?
b) Stellen Sie die beiden Funktionen im gleichen Koordinatensystem mit Hilfe der Extrem- und Wendepunkte dar (Einheit: 1 Häuschen).
c) Welchen Inhalt hat das von den beiden Graphen und von der Geraden mit der Gleichung x=8 eingeschlossene Flächenstück ?
[Eidg. Matur Basel, Herbst 76]
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TOP Aufgabe 16
a) Berechnen Sie die ausgezeichneten Stellen dieser Funktion und zeichnen Sie den Graph F1 (Einheit: 4 Häuschen).
b) Durch Spiegelung von F1 an der y-Achse erhält man den Graph F2. F2 habe die Funktionsgleichung f2(x) . In welcher Beziehung stehen f1(x) und f2(x)? Geben Sie f1(x) an.
c) Berechnen Sie das Gebiet, welches F1 und F2 im I. Quadranten einschliessen.
[Kanti Frauenfeld 78, Wb]
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TOP Aufgabe 17
Welche ganze rationale Funktion erfüllt die drei folgenden Bedingungen?
a)
b)
c)
[Kanti Frauenfeld 78, Wb]
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