Kreis und Kugel: Vermischte Aufgaben

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Maturaufgaben: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13






TOP Aufgabe 1
       
a) Berechnen Sie die Durchstosspunkte der Geraden g mit der Kugel k.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene T an die Kugel k im Berührungspunkt B(x>0|0|-2)
c) Die Tangentialebene T schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten X, Y und Z. Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders, das diese drei Punkte zusammen mit dem Kugelmittelpunkt M bilden.
(Vorprüfung 1999)
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TOP Aufgabe 2
a) Zeigen Sie, dass die Kreise gleich gross sind und erstellen Sie eine saubere Zeichnung (Einheit: 1 Häuschen).
b) Stellen Sie die Gleichungen der Spiegelachsen auf.
c) Ein weiterer gleich grosser Kreis soll die Kreise k1 und k2 berühren. Berechnen Sie seinen Mittelpunkt.
(Vorprüfung 1999)
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TOP Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass sich die Kugeln K1 und K2 berühren, und stellen Sie die Gleichung der gemeinsamen Tangentialebene in diesem Punkte auf.
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TOP Aufgabe 4
Gegeben sind zwei Geraden und ein Kreis:
a:   3x-4y=18
b:   3x+4y=50
k:   x2-24x+y2+8y+135=0
a) Sorgfältige Zeichnung (Einheit 1 Häuschen)
b) Schnittpunkte A und B der Geraden mit der y-Achse, sowie Schnittpunkt S der Geraden a und b.
c) In welchen Punkten schneidet der Kreis k die x-Achse?
d) Ein Kreis k' ist gleich gross wie k, liegt im Dreieck ABS und berührt die Geraden a und b. Wie heisst seine Gleichung?
[Matur TSME, 1997, Flü]
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TOP Aufgabe 5
Verschieben Sie die Kugel x2+y2+z2=13 parallel zur x-Achse, bis sie aus der Kugel (x-10)2+(y+4)2+(z-2)2=25 einen Kreis mit Radius 3cm herausschneidet.
Bestimmen Sie den Mittelpunkt der verschobenen Kugel(n).
[TSME, Matur BDE, 1982]
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TOP Aufgabe 6
a) Eine Kugel K1 hat ihren Mittelpunkt auf der Geraden g und geht durch die Punkte A(6|-1|8) und B(-2|7|8) . Bestimmen Sie die Gleichung dieser Kugel (in Mittelpunktsform).
b) Eine Ebene E ist durch die Punkte R(3|4|6), S(-2|-3|30)
und T(5|-5|20) gegeben.
Geben Sie die Achsenschnittpunkte dieser Ebene an. Es gibt zwei Tangentialebenen an die Kugel K1, die parallel zu E sind. Berechnen Sie die Gleichung derjenigen, die näher bei E liegt.
[Matur TSME 01, Flü]
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TOP Aufgabe 7
Eine Ebene hat die Gleichung E: 4x+5y+20z=80 und alle Kugeln sind gleich gross .
a) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene E gegenüber der
xy-Ebene.
b) Die rote Kugel mit der Gleichung
x2+y2+z2-10x+40y-100z+2484=0 fällt senkrecht, d. h. parallel zur z-Achse, nach unten und hinterlässt in der Ebene E ein Loch in Form einer Ellipse.
Wo ist der Mittelpunkt des Lochs? Wie gross ist der kleinste Durchmesser des Lochs?
c) Nun fällt die blaue Kugel mit Mittelpunkt (19|-3|50)
und Radius 21 herunter.
Wo ist der Mittelpunkt der Kugel, wenn sie die Ebene zum ersten Mal berührt und wo ist der Berührungspunkt? (Gute Skizze empfehlenswert!)
d) Die grüne Kugel berührt die Ebene E im Punkt (30|-24|z) und rollt auf dem kürzesten Weg die Ebene herunter.
Berechnen Sie die Achsenabschnitte der Ebene und die Gleichung der Schnittgeraden von E mit der xy-Ebene.
Beschreiben Sie die Gerade, auf der die Kugel nach unten rollt, in Worten und berechnen Sie eine Gleichung dieser Geraden.
e) Die gelbe Kugel schliesslich rollt auf der Geraden g nach unten.
Auf welcher Geraden (Gleichung gesucht) rollt sie in der xy-Ebene weiter?
[Matur Frauenfeld 2002 Flü]
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TOP Aufgabe 8
Gegeben wird die Kugel k1: x2+y2+z2-2x-4y-6z+2=0. Eine zweite Kugel k2 entsteht aus der ersten Kugel k1 durch eine Parallelverschiebung um den Verschiebungsvektor v; der Mittelpunkt M2 der Kugel k2 soll auf der Oberfläche von k1 liegen.
a) Bestimmen Sie denjenigen Verschiebungsvektor v,
für welchen k>0 gilt.
b) k1 und k2 schneiden sich in einem Kreis k. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes N, den Radius r von k und die Gleichung der Kreisebene E
c) Wie lauten die Gleichungen der vier Tangentialebenen beider Kugeln, welche zur Ebene E des Schnittkreises parallel sind?
[TSME, Matur BDE, 1990]
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TOP Aufgabe 9
Welche Kugel berührt die Ebene x-4y+8z=0 im Koordinatenursprung und geht durch den Punkt P(3|0|-1)?
[TSME, Matur BDE, 1993]
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TOP Aufgabe 10
Die beiden Punkte A(0|-2|5) und B(6|4|9) sowie die Gerade g seien gegeben.
a) Auf der Geraden g liegt der Mittelpunkt M einer Kugel k, welche durch die beiden Punkte A und B geht. Wie lautet die Gleichung von k?
b) Wie gross ist der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Geraden durch A und B?
c) Wie lang ist der kleinere Kreisbogen AB?
[TSME, Matur BDE, 1989]
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TOP Aufgabe 11
Gegeben sind der Kreis k: x2+y2+6x-4y+4=0
und die Gerade g: 4x-3y-32=0.
a) Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises k.
b) Wie gross ist der kürzeste Abstand zwischen der Geraden g und dem Kreis k? Welcher Punkt von g liegt dem Kreis am nächsten?
c) Der Kreis k sei der Schnittkreis einer Kugel mit der xy-Ebene. Diese Kugel habe den Radius 5. Bestimmen Sie ihren Mittelpunkt.
d) Wie lauten die Gleichungen der Tangentialebenen an diese Kugel in den Punkten (0|2|z) der Kugel?
[TSME, Matur BDE, 1991]
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TOP Aufgabe 12
a) Kreis in der Ebene: ein Kreis k ist durch die Gleichung
x2+y2-4x-2y-20=0 gegeben. Durch 2x-y=8 ist zudem eine Gerade g definiert. Berechnen Sie die Gleichungen der Tangenten an k in den Schnittpunkten von g und k.
b) Kreis im Raum: von einem Kreis k im Raum seien der Mittelpunkt M(3|-6|2) und der Radius r=10 bekannt, zudem stehe die Kreisebene senkrecht zum Vektor mit den Koordinaten (4|3|12). Berechnen Sie eine Gleichung der Kreisebene und zeigen Sie, dass der Punkt A(-3|2|2) auf k liegt. Bestimmen Sie dann eine Gleichung der Kreistangente in A.
[TSME, Matur BDE, 1996]
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TOP Aufgabe 13
Eine Kugel mit Radius 5 rollt auf der xy-Ebene umher, bis sie in einem Loch stecken bleibt, das durch die Gleichung x2+10x+y2-12y+52=0 beschrieben wird.
a) Beschreiben Sie Form, Grösse und Lage dieses Lochs.
b) Geben Sie die Gleichung der darin steckenden Kugel an.
Eine zweite Kugel hat die Gleichung x2-2x+y2+18y+z2-28z+197=0.
Sie wird vom Punkt (5|-26|0) aus mit einem Laserstrahl mit der Richtung v durchbohrt.
c) Berechnen Sie Eintritts- und Austrittspunkt des Strahls.
d) Berechnen Sie die kleinste Entfernung der beiden Kugeln.
[Matur TSME 2000, Flü]
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