Vermischte Aufgaben
über Geraden und Ebenen

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Maturaufgaben:    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 12, 13







TOP Aufgabe 1
Der Würfel ABCDEFGH ist gegeben durch:
Ebene ABCD
Ebene ABEF 2x-y-2z+4=0
Ebene ADEH 2x+2y+z-11=0
und den Punkt G(1|10|7)
Berechnen Sie die Koordinaten der Ecken A und B sowie das Volumen des Würfels.
[Vorprüfung 1999]
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TOP Aufgabe 2
Ein Tetraeder hat die Spitze S(6|7|-1). Seine Grundfläche wird durch die Punkte A(5|7|-3), B(6|6|-2) und C(10|3|-6) gebildet.
a) Berechnen Sie Volumen V und Grundfläche G dieser Pyramide (exakt!)
b) Die Länge der durch S gehenden Höhe h der Pyramide lässt sich auf mindestens drei Arten berechnen.Beschreiben Sie kurz die drei Verfahren und führen Sie eines davon durch (exakt!).
c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen ABC und ABS ?
d) Berechnen Sie den Abstand des Spitze S von der Kante AB exakt.
[Matur TSME 2001, Flü]
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TOP Aufgabe 3
Gegeben sind die Ecken A(-1|1|-3) und D(2|2|1) eines Parallelogramms; die Ecke B liegt auf der gegebenenGeraden.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Ecke B für den Fall t=2.
Wo liegt dann die Ecke C?
b) Für welches t ist die Fläche des Parallelogramms gleich der gegebenen Fläche A?
c) Für welches t ist die Fläche des Parallelogramms möglichst klein?
d) Zeigen Sie, dass es kein t gibt, so dass das Parallelogramm zu einem Rechteck wird? (Begründen!)
[Matur TSME, 2000, Flü]
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TOP Aufgabe 4
Gegeben sind die Punkte
A(5|0|10), B(-4|21|4), C(2|21|10), S(-13|12|22).
Von S aus wird das Lot auf die Ebene ABC gefällt.
Berechnen Sie seinen Fusspunkt.
[Matur TSME 2000 Kurzaufgabe, Flü]
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TOP Aufgabe 5
Von einem Würfel kennt man:
die Ebene ABCD:  Φ:  2x-y-2z-5=0
die Ebene ADEH:  Ψ:  2x+2y+z+4=0
sowie den Punkt F(1|0|3).
a) Berechnen Sie die Parametergleichung der Schnittgeraden von Φ und Ψ.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene ABFE
c) Wie lautet die Gleichung der Ebene CDHG?
[TSME, Matur BDE, 1997 - Flü]
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TOP Aufgabe 6
Gegeben ist ein Dreieck im Raum durch die Punkte A(3|1|1), B(1|4|2) und C(-1|0|4)
a) Wie gross ist die Fläche des Dreiecks?
b) Wie gross ist der Dreieckswinkel bei B ?
c) Welchen Winkel bilden die Dreiecksebene und die xy-Ebene?
d) Welche Länge hat die Höhe durch C ?
e) Geben Sie einen Richtungsvektor der Höhengeraden durch C an!
[TSME, Matur BDE, 1993 - Gub]
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TOP Aufgabe 7
a) Bestimmen Sie einen Punkt C auf der Geraden g so, dass das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel hat. (Bei mehreren Möglichkeiten wähle man den Punkt C, der die grösste z-Koordinate hat).
b) Spiegeln Sie den Nullpunkt O an der Ebene ε(ABC); der gespiegelte Punkt heisse O'.
c) Berechnen Sie das Volumen des Körpers OABCO'.
[Frauenfeld, 7gb, 1990]
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TOP Aufgabe 8
a) Geben Sie die Koordinatengleichung der Ebene E1 an, welche durch A(2|1|0) und B(9|5|4) geht und senkrecht zur Ebene
E: 2x-2y+z-11=0 steht.
b) Bestimmen Sie den Spiegelpunkt A' von A bezüglich E.
c) Für welche Punkte P auf der x-Achse ist ∠ APB=90?
d) Welche Punkte auf g haben von E und der yz-Ebene gleiche Abstände?
[Kantonsschule Rychenberg Winterthur, Typus B, 1989]
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TOP Aufgabe 9
Gegeben sind: die Gerade g sowie die Ebene Φ durch A(1|-5|0), B(0|3|3) und C(2|2|3).
Bestimmen Sie:
a) Den Durchstosspunkt S von g durch Φ.
b) Den Schnittwinkel φ zwischen g und Φ.
c) Die Gerade g wird an der Ebene Φ gespiegelt.
Berechnen Sie die Gleichung der Spiegelgeraden g'.
d) Welche Punkte der Geraden g haben von Φ den Abstand √30 ?
[Matur TSME, 1997, Flü]
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TOP Aufgabe 10
Die Gerade g:   und der Punkt C(-1|0|3) sind gegeben.
a) Bestimmen Sie auf g zwei Punkte D und E sowie einen weiteren Punkt F (nicht auf g), dass CDEF ein Quadrat wird.
[Es genügt, eines der möglichen Quadrate finden.]
b) CDEF aus a) ist Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Spitze S. Das Volumen der Pyramide beträgt 72. Wie lauten die Koordinaten der Spitze S.
[Matur TSME 02, Aufgabe 3, Rei]
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TOP Aufgabe 11
   
a) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden a und b.
b) In welchen Punkten Sa bzw. Sb schneiden die beiden Geraden die xy-Ebene?
Die Szenerie wird mit parallelem Licht beschienen. Dabei werfen die Geraden a und b Schatten a' und b' auf die xy-Ebene.
c) Die Schatten a' und b' schneiden sich im Punkt T(9|3|0).
Aus welcher Richtung kommt das parallele Licht?
[Matur TSME 02, Aufgabe 1, Rei]
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TOP Aufgabe 12
Gegeben sind die beiden Geraden
a) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene ε, welche g enthält und zu g' parallel ist!
b) Bestimmen Sie den Fusspunkt F des Lotes von A'(-1|-22|-45) auf die Ebenen ε ! (A' liegt auf g'!)
c) Für welchen Punkt B von g hat das Dreieck A'FB die kleinste Fläche?
d)G liege auf g, G' liege auf g'.
Gesucht sind die Koordinaten von G und G', wenn die Punkte A'FGG' ein Rechteck bilden.
e)Berechnen Sie das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche A'FGG' und der Spitze B !
[TSME Matur BDE, 1988]
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TOP Aufgabe 13
a) Sei C der Punkt auf der Geraden für t=0. Berechnen Sie vom Dreieck ABC den Winkel bei A und den Flächeninhalt.
b) Für welchen Punkt D auf der Geraden g ist das Dreieck ABD bei A rechtwinklig?
c) Ein Lichtstrahl geht von A aus, wird an der Grundrissebene z=0 reflektiert und trifft danach den Punkt B. Wo liegt der Reflexionspunkt?
d) Bestimmen Sie die Transversale der beiden Geraden AB und g durch den Ursprung.
[Rychenberg Winterthur, Typus A, 1989]
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